청동기수학의 3단계 핵심질문
인하대 영재센타는 청동기시대의 수학을 5개 분야로 분류하면서 다음과 같은 3단계
① 사실은 묻는 단계, ② 개념적 이해를 요구하는 단계, ③ 논쟁을 유발하는 단계 의 질문을 구성하고 이를 강의에 적용합니다(출처: 박제남, 남호영.(2024). 청동기 시대의 수학. 경문사).
질문 구성 단계 | Bloom의 분류 (Taxonomy) |
정의 |
---|---|---|
사실을 묻는 단계 Factual Questions |
인지 Remembering |
탐구 관련 실세계문제를 인지하는 능력 |
이해 Understanding |
실세계문제를 종합적으로 이해하는 능력 | |
개념적 이해를 요구하는 단계 Conceptual Questions |
적용 Applying |
지식을 실세계문제 해결에 수학적으로 적용하는 능력 |
분석 Analyzing |
관련 견해를 수학적으로 분석하는 능력 | |
논쟁을 유발하는 단계 Debatable Questions |
가치부여 Evaluation |
실세계문제에 수학(문화)적 가치를 부여할 수 있는 능력 |
성찰 Creating |
실세계문제의 가치를 비판적으로 성찰하는 능력 |
I. 곱셈식과 단위분수(c.3400~c.1606 BCE)
핵심질문 1(아메스 파피루스)
- 고대 이집트 서기 아메스가 87개의 문제가 수록된 수학책을 저술한 역사적 배경은 무엇일까?
- 아메스의 수학책 저술의 구성 원리는 무엇인가?
- 흔히 우리는 탈레스를 최초의 수학자라고 소개하곤 한다. 아메스는 수학자인가?
핵심질문 2(고대 이집트의 곱셈식)
- 고대 이집트 학생들은 곱셈식을 어떻게 구했을까?
- 곱셈식이란 무엇인가?
- 고대 이집트 학생들의 곱셈법을 현대 과학에서 말하는 ‘이진법’으로 볼 수 있는가?
핵심질문 3(13세기 유럽의 곱셈식)
- 1202년 피보나치는 곱셈식을 어떻게 구했을까?
- 피보나치의 곱셈식의 대수적 배경은 무엇인가?
- 피보나치의 산술의 역사적·지리적 배경은 무엇인가?
핵심질문 4(등비수열과 그 유한 합)
- 공비가 7인 등비수열이 고대 이집트, 13세기 유럽 그리고 현대 유럽에서 어떤 형식으로 존재하고 있는가?
- 등비수열이란 무엇인가?
- 4000년 이상 등비수열의 수학 문화적 전이가 가능한 이유는 무엇인가?
핵심질문 5(단위분수)
- 예를 들어, 연산 \( \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8} \)와 이에 대한 역연산 \( \frac{5}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \)의 차이는 무엇인가?
- 고대 이집트 학생들은 분수를 어떤 수학적 원리로 단위분수의 합으로 분해했는가?
- 고대 이집트인들은 왜 단위분수를 도입했을까?
핵심질문 6(몫과 너머지)
- 두 자연수의 몫과 나머지는 어떻게 구할 수 있을까?
- 몫과 나머지를 거듭 사용하는 유클리드의 알고리즘의 용도는 무엇인가?
- 헬레니즘 당시 알렉산드리아에서 연분수를 도입한 배경은 무엇인가?
핵심질문 7(유리화)
- \( \frac{1}{√2 + 1}\)는 어떻게 유리화하는가?
- 유리화가 가능한 이유는 무엇인가?
- 유리화의 목적은 무엇인가?
II. 이집트 피라미드학(c.2650 BCE)
핵심질문 1(고대 이집트인의 기울기)
- 청동기 시대 이집트인들이 사용한 기울기는 무엇인가?
- 고대 이집트인은 현재 사용하고 있는 기울기와 다르게 코탄젠트를 사용한 이유는 무엇인가?
- 탈레스가 가지고 있는 ‘기울기의 개념’을 추정할 수 있는가?
핵심질문 2(피라미드대의 부피공식)
- 청동기 시대 이집트인들의 피라미드대의 부피 공식은 무엇인가?
- 공식 유도를 위한 타당한 가설은 무엇인가?
- 공식을 통하여 고대 이집트인들의 기하 또는 대수적 수준을 추정할 수 있는가?
핵심질문 3(탈레스와 닮음비)
- 탈레스가 피라미드의 높이를 측정했다는 기록이 남아 있는가?
- 피라미드의 그림자에 직각삼각형의 닮음비를 사용할 수 있는가?
- 탈레스가 피라미드의 높이를 측정했을 가능성은 무엇인가?
핵심질문 4(쿠푸왕의 대피라미드와 황금비)
- 헤로도토스 및 최근 고고학자들이 측정한 쿠푸왕의 대피라미드의 크기는 어떠한가?
- 쿠푸왕의 대피라미드에서의 존 테일러의 가설은 무엇을 기반으로 하는가?
- 쿠푸왕의 대피라미드에 The Extreme and Mean Ratio (EMR)가 존재한다는 것을 추론할 수 있는가?
핵심질문 5(유클리드의 The Extreme and Mean Ratio)
- 유클리드가 말하는 황금비의 정의와 이름은 그의 저서 《원론》에서 무엇으로 소개되어 있는가?
- 유클리드의 정의를 한글로 어떻게 번역하는 것이 합리적인가?
- ‘황금비’는 아름다운 비인가?
핵심질문 6(신용카드 디자인)
- 신용카드의 가로와 세로의 길이의 비는 무엇인가?
- 직사각형 모양의 신용카드를 동적 조화로 접근할 수 있는가?
- 신용카드 디자인은 고대 이집트와 고대 그리스의 유산으로 볼 수 있는가?
핵심질문 7(사령선과 동적 조화)
- 아폴로 11호 사령선의 크기는 어떠한가?
- 뉴턴은 아폴로 11호 사령선의 구조를 어떻게 예측하였나?
- 사령선에 대한 동적 조화는 저항을 최소화하는 데 유용한가?
III. 대각선 규칙(2000-1600 BCE)
핵심질문 1(플림턴 322(라르사 점토판))
- 점토판 플림턴 322에 나타난 15개의 직각삼각형 크기는 어떠한가?
- 매우 큰 수로 만들어진 직각삼각형의 크기를 어떻게 구했을까?
- 15개 직각삼각형의 배열 원리와 용도는 무엇인가?
핵심질문 2(소크라테스와 메논과의 가하적 대화)
- 점토판에는 고바빌로니아 시대 원과 내접하는 삼각형에 대한 어떤 문제가 실려 있는가?
- 내접하는 삼각형은 ‘대각선 성질’을 왜 필요로 하는가?
- 플라톤의 《메논》에서 소크라테스와 메논과의 대화에 내접하는 삼각형의 성질을 동지중해의 수학 문화 교류로 볼 수 있는가?
핵심질문 3(피타고라스 정리)
- 고바빌로니아인들이 피타고라스 정리 증명에서 사용한 것으로 추정되는 도형은 어떤 도형인가?
- 피타고라스가 정리를 발견하고 증명했다는 주장을 전문서적이나 국제 수준 논문에서 찾기 힘든 이유는 무엇인가?
- 피타고라스 이름을 따서 ‘피타고라스 정리’라고 부르는 것은 윤리적인가?
핵심질문 4(정사각형과 그 대각선)
- 청동기 시대 고바빌로니아인들이 정사각형의 대각선을 어떻게 기술했는가?
- 고바빌로니아인의 근삿값을 구하는 방법을 추정해 보자.
- 고바빌로니아의 방법이 고대 그리스에 영향을 끼쳤다는 것을 논할 수 있는 이유는 무엇인가?
핵심질문 5(√8 과 그 근삿값)
- 플라톤의 《메논》에서 소크라테스와 노예 소년은 어떤 대화를 나눴는가?
- 기하적 대화와 산술적 대화로 구분하는 것이 가능한가?
- 플라톤이 처음 노예 소년에게 제시한 정사각형의 길이를 2로 택한 이유는 무엇인가?
핵심질문 6(분할하여 붙이기 디자인)
- 플라톤의 《메논》에서 소크라테스와 노예 소년 간의 대화를 색종이 ‘분할하여 붙이기’로 바꿀 수 있는가?
- 3, 5, 6장의 색종이를 분할하여 1장의 정사각형 색종이로 만들어 보자.
- 색종이 5장의 ‘분할하여 붙이기’를 중세 이슬람 수학적 디자인과 연결하는 것이 타당한가?
핵심질문 7(테오도르스의 나선)
- 플라톤의 《테아이테토스》에서 말하는 테오도로스 나선을 그릴 수 있는가?
- 위에서 경험적으로 √18 을 나선에 넣으면 처음 삼각형과 겹친다는 것을 알 수 있었다. 합리적으로 겹치는 이유를 설명할 수 있을까?
- 테오도로스가 √2 를 언급하지 않은 이유는 무엇인가?
핵심질문 8(무리수의 증명)
- 히파수스 시절 무리수 증명은 몫과 나머지를 사용하였다. 두 선분에 몫과 나머지를 어떻게 적용하는가?
- \( \frac{√5 + 1}{2}\) 과 √2 를 정오각형과 정사각형의 대각선을 이용하여 이들이 유리수가 아님을 보여라.
- 히파수스 시절에 √2 보다 \( \frac{√5 + 1}{2}\)이 먼저 유리수가 아님을 보인 것으로 추정된다. 그 이유는 무엇인가?
IV. 원주율(c.3000~c.1606 BCE)
핵심질문 1(원기둥의 부피)
- 원의 넓이를 구하는 가장 오래된 기록인 《아메스 파피루스》 41번 문제는 무엇인가?
- 평면도형의 넓이를 정사각형의 넓이로 어떻게 접근했는가?
- 고대 이집트인은 원의 넓이를 어떻게 정사각형의 넓이로 접근했다고 보는가?
핵심질문 2(원주)
- 원주를 구하는 가장 오래된 기록인 《모스크바 파피루스》 10번 문제는 무엇인가?
- 평면도형의 둘레를 정사각형 둘레의 길이로 접근하는 이유는 무엇인가?
- 고대 이집트인은 원주를 어떻게 정사각형의 둘레의 길이로 접근했다고 보는가?
핵심질문 3(원과 다각형 (1))
- 《아메스 파피루스》 48번 문제는 무엇인가?
- 기존 《아메스 파피루스》의 서술과의 차이점을 알아보고 48번 문제를 아르키메데스의 방법과 비교해 보자.
- 아르키메데스는 아메스의 방법을 알고 있었을까?
핵심질문 4(W. 페트리의 원주율 가설)
- 《모스크바 파피루스》 10번 문제와 W. 페트리의 가설은 무엇인가?
- W. 페트리의 원주율 가설을 동적 조화로 작도할 수 있는가?
- 쿠푸왕의 대피라미드 건축에 원주율이 사용될 가능성이 있는가?
핵심질문 5(원과 다각형(2))
- 아르키메데스의 《원의 측정》에서 그가 사용한 알고리즘을 무엇인가?
- 그의 최종 결론은 무엇인가?
- 일반적인 외접 다각형과 내접 다각형으로 원주를 근사할 수 있는가? 이에 대한 문제점을 아르키메데스가 알고 있었을까?
핵심질문 6(아르키메데스의 근삿값)
- 아르키메데스는 《원의 측정》에서 왜 √3을 만났는가?
- 그는 \(\frac{265}{153} < √3 < \frac{1351}{780}\)을 어떻게 얻었을까?
- 그의 방법은 바빌로니아의 영향을 받았을까?
핵심질문 7(고바빌로니아의 원주율 (1))
- 표준화된 정오각형, 정육각형, 정칠각형은 무엇인가?
- 원주율 3을 도입한 이유는 무엇인가?
- 정다각형을 표준화한 이유는 무엇인가?
핵심질문 8(고바빌로니아의 원주율 (2))
- 수사인이 구한 ‘(정육각형 둘레)/(외접원의 둘레)’는 무엇인가?
- 왜 정육각형을 선택했을까?
- 어떻게 원주를 측정했을까?
핵심질문 9(고바빌로니아인의 원의 넓이)
- 고바빌로니아인의 원의 넓이를 어떻게 구했는가?
- (원의 넓이)/(외접 정사각형 넓이) = 3/4로 본 이유는 무엇인가?
- 고대 이집트와 고바빌로니아인의 방법은 어떻게 다른가?
핵심질문 10(솔로몬과 원주율)
- 성경(열왕기상 7:23-26, 역대하 4:2-5)과 탈무드(Eruvin 14a, 56b, 76a)에는 원주율이 어떻게 기록되어 있는가?
- 성경의 원주율을 3으로 보는 것이 타당한가?
- 성경의 원주율에 바빌로니아의 영향을 논할 수 있는가?
V. 동심 정사각형(c.3000~c.2200 BCE)
핵심질문 1(수메르인과 바빌로니아인의 동심 정사각형)
- 메소포타미아 원수메르인 (proto-Sumerian) 시대 점토인장에서 동심 정사각형을 찾아 보자.
- 동심 정사각형을 점대칭도형으로 볼 수 있는가?
- 약 1000년 이후 고바빌로니아인은 이를 대각선 규칙 증명에 활용한 것으로 볼 수 있는가?
핵심질문 2(점토판 VAT 8512)
- 고아카디안(2340~2200 BCE) 점토판 VAT 8512를 조사해 보자.
- 3명의 학자(노이게바우어, 후버, 호이럽)의 접근의 차이는 무엇인가?
- 호이럽은 왜 동심 정사각형을 그의 추론에 사용하였나?
핵심질문 3(적분의 시작)
- 고대 바빌로니아인의 목성궤도 관찰에 사용한 정적분을 설명해 보자.
- 고대 바빌로니아인은 정분의 평균값 정리를 사용한 것으로 볼 수 있는가?
- 미적분의 시작을 뉴턴으로 보는 것은 윤리적인가?
핵심질문 4(회전체의 체적)
- 1000년경 이집트 파티마조에서 이븐 알 하이샴(ibn al-Hytam)이 도입한 회전체의 체적을 구하는 방법을 알아보자.
- 구분구적법에서 극한을 어떻게 처리했는가?
- 미적분의 역사를 다시 써야한다는 V. Katz의 주장은 타당한가?
핵심질문 5(회전하는 이중 직각삼각형)
- 이슬람 아트 디자인에서 동심 정사각형인 회전하는 이중 직각삼각형이 사용된 디자인을 찾아보자.
- 회전하는 이중 직각삼각형의 대수적 기하적 의미는 무엇인가?
- 회전하는 이중 직각삼각형의 도입에 대하여 3가지 가설이 존재한다. 세 가설의 근거는 무엇인가?
핵심질문 6(고구려 쌍영총)
- 동심 정사각형이 사용된 고구려 천장도를 조사해 보자.
- 수학적 구조는 무엇인가?
- 동심 정사각형인 고구려 천장도 구조는 이집트나 바빌로니아의 영향으로 볼 수 있는가?
핵심질문 7(I.M. 페이의 유리 피라미드)
- I.M. 페이의 유리 피라미드 평면(site) 구조를 알아보자.
- 평면을 포함한 쿠푸왕의 대피라미드의 축소인 유리 피라미드 모형을 제작해 보자.
- I.M. 페이는 동심 정사각형의 이집트나 바빌로니아의 디자인의 가치를 알고 있었을까?